\chapter{空间经济学阅读笔记}

\section{文献回顾：城市经济学}
\section{文献回顾：区域科学}
\section{迪克西特-斯蒂格利茨垄断竞争模型及其空间含义}\label{sec:3}
\subsection{消费者行为}
消费者的效用函数为，
\[U=M^{\mu}A^{1-\mu}\]

其中$M$是工业品的消费量指数（之所以是指数，是因为工业品很多，合成一个指数）；$A$是农产品的消费量；$ \mu $是常数，表示制成品的支出份额；
如果$m(i)$表示每种可得工业品的消费量，$n$表示工业品种类的范围，该工业品消费量指数M可按不变替代弹性函数定义，
\[M=\left [\int_0^n m(i)^{\rho}di\right ]^{1/\rho},0<\rho<1\]

参数$\rho$ 表达的是消费者对工业品多样性的偏好程度。当$\rho$ 趋近于1，差异化的产品近乎完全替代，趋近于0，则消费差异化产品的愿望愈强。若令$\sigma=1/(1-\rho)$ ，则$\sigma$ 表示两种工业品间的替代弹性。
给定收入$Y$和一组价格： $p^A$是农产品价格，$p(i)$是每种工业品价格，那么消费者的问题就是下述约束下的效用最大化，
\[p^AA+\int_0^np(i)m(i)di=Y\]

\vspace{3 ex}
分两步解决上述最优规划。第一步，不论制成品集合M是多少，均需选定每一个$m(i)$，使工业品组合$Ｍ￥$成本最低。即解决如下最优规划，
\begin{align*}
min_m \int_0^np(i)m(i)di\\
s.t. \left [\int_0^nm(i)^{\rho}di \right ]^{1/\rho}=M
\end{align*}
必要条件为（见附录1），
\begin{equation}
\frac{m(i)^{\rho-1}}{m(j)^{\rho-1}}=\frac{p(i)}{p(j)} \label{eq:producter}
\end{equation}

现在，来看看购买一篮子制成品的最小价值是多少。该价值的定义正如上述最优规划的目标函数，
\begin{equation}
\int_0^np(j)m(j)dj \label{eq:target}
\end{equation}

现在可以利用\eqref{eq:producter}式和约束条件消去$m$这一项。具体地，由\eqref{eq:producter}式可得到$m(i)=m(j)[p(j)p(i)]^{1/(1-\rho)} $ ，代入约束条件$[\int_0^nm(i)^{\rho}di]^{1/\rho}=M $，可得，
\begin{equation}
m(j)=\frac{p(j)^{1/(\rho-1)}}{[\int_0^np(i)^{\rho/(\rho-1)}di]^{1/\rho}}M \label{eq:m}
\end{equation}

将\eqref{eq:m}式代入\eqref{eq:target}式，可以得到（见附录2），
\begin{equation}
\left [\int_0^np(i)^{\rho/(\rho-1)}di\right ]^{(\rho-1)/\rho}M=\left [\int_0^np(i)^{1-\sigma}di\right ]^{1/(1-\sigma)}M=GM \label{eq:G}
\end{equation}

价格指数$G$的含义是购买一单位工业品组合的最小成本。将\eqref{eq:G}式代入\eqref{eq:m}式，可以使得$m(i)$的表达更为紧凑，
\begin{equation}
m(j)=\left (\frac{p(j)}{G}\right )^{1/(\rho-1)}M=\left ( \frac{p(j)}{G}\right )^{-\sigma}M \label{eq:compact}
\end{equation}
第二步，消费者如何把总收入在农产品和工业品之间分配。即
\begin{align*}
& max \; U=M^{\mu}A^{1-\mu}\\
& s.t. \;GM+p^AA=Y
\end{align*}

一阶条件为$M=\mu Y/G$ 和$A=(1-\mu)Y/p^A  $。这样对农产品的需求由前式给出，对工业品的需求，结合\eqref{eq:compact}式，可得到，
\begin{equation}
m(j)=\mu Y\frac{p(j)^{-\sigma}}{G^{-(\sigma-1)}} \label{eq:NeedProd}
\end{equation}

最后，制成品种类$n$是一个内生变量，可以观察它的变化对消费者的影响。一般，$n$变大，$G$会变小，获得给定效用水平的成本也将越低。
\subsection{多个地区与运输成本}
用$n_r $ 表示地区$r$生产的产品种类数，用$p_r^M $表示各类产品的出厂价。冰山运输技术指某种工业品在生产地$r$的售价是$p_r^M $ ，那么这种工业品在消费地$s$的交货价$p_{rs}^M $ 就是
\[p_{rs}^M=p_r^MT_{rs}^M\]

其中$T_{rs}^M>1 $。这样，各地价格指数会不同，地区$s$的价格指数以$G_s $ 标记。这样，价格指数方程\eqref{eq:G}可以重新改写为，
\[G_s=\left [ \sum_{r=1}^R n_r(p_r^MT_{rs}^M)^{1-\sigma}\right ]^{1/(1-\sigma)}\]

这样，考虑了运输成本的一种工业品的需求,结合\eqref{eq:NeedProd}式，就可以得到,
\[m(j)=\mu Y_s(p_r^MT_{rs}^M)^{-\sigma}G_s^{(\sigma-1)}\]

这是在地区$s$的消费量，但要达到这样的消费水平，在生产地$r$的装运量必须是它的$T_{rs}^M $ 倍，可是生产地$ r $不仅把产品销往$ s $地区，也销往了其他地区，把所有地区该产品的消费量相加，就得到该产品的总出厂数量,
\begin{equation}\label{eq:qrM}
q_r^M=\mu\sum_{s=1}^RY_s(p_r^MT_{rs}^M)^{-\sigma}G_s^{\sigma-1}T_{ts}^M
\end{equation}

\subsection{生产者行为}
若农产品完全竞争，并采取收益不变技术生产。工业品存在规模经济，所有地区工业品生产技术相同，固定投入$F$，边际投入$c^M $ ，生产只有一种要素投入即劳动，那么给定地区生产数量为$q^M $ 的任何产品，劳动投入$l^M $ 可以写为，
\begin{equation}\label{eq:lm}
l^M=F+c^Mq^M
\end{equation}

每种产品只在一个地区由一个专业化厂商生产，现有厂商数目与可获得差异产品种类数相同。


\subsubsection{利润最大化}
考虑一家位于地区$r$的厂商生产一种特定产品，其支付给制造业工人工资是给定的$w_r^M $ ，产品出厂价为$p_r^M $，则利润可表示为，
\[\pi_r=p_r^Mq_r^M-w_r^M(F+c^Mq_r^M)\]

其中$ q_r^M $由需求函数\eqref{eq:qrM}式决定。价格指数$G_s $ 是既定的，通过选择产品价格来决定上式的最大值，可知有一阶条件，
\[p_r^M(1-1/\sigma)=c^Mw_r^M\]

或者可以写作，
\begin{equation}\label{eq:prm}
p_r^M=c^Mw_r^M/\rho
\end{equation}

代入目标函数，可得到地区r的厂商利润为，
\[\pi_r=w_r^M\left [ \frac{q_r^Mc^M}{\sigma-1}-F\right]
\]

那么0利润就意味着厂商的均衡产出为，
\[q^*\equiv F(\sigma-1)/c^M\]

根据\eqref{eq:lm}式，均衡劳动力投入就为
\[l^*\equiv F+c^Mq^*=F\sigma\]

如果$r$地区制造业工人总数目为$L_r^M $ ， $n_r$表示地区$r$的制造业厂商数目，那么
\begin{equation}\label{eq:nr}
n_r=L_r^M/l^*=L_r^M/F\sigma
\end{equation}


\subsubsection{制造业工资方程}
一方面从消费者来看，其需求由\eqref{eq:qrM}式表达，而厂商的0利润又决定了其产出为 $ q^* $，这样供需平衡就要求，
\[ q^*=\mu\sum_{s=1}^RY_s(p_r^M)^{-\sigma}(T_{ts}^M)^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1} \]

上式意味着定价水平满足如下等式才能达到供需平衡，
\begin{equation}\label{eq:prmsig}
(p_r^M)^{\sigma}=\frac{\mu}{q^*}\sum_{s=1}^RY_s(T_{rs}^M)^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1}
\end{equation}

这是从消费和生产均衡的角度得到的。另一方面厂商定价又由自身利润最大化决定，即厂商可以通过调节工资实现产品价格的调节，这正如\eqref{eq:prm}式所要求的，那么将\eqref{eq:prm}式代入上式，就可以得到工资的决定方程，
\begin{equation}\label{eq:wrm}
w_r^M=(\frac{\sigma-1}{\sigma c^M})\left[ \frac{\mu}{q^*}\sum_{s=1}^R Y_s(T_{rs}^M)^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}
\end{equation}

这就是工资方程，今后会经常使用。


\subsubsection{实际工资}
如果生活费用指数为 $G_r^{\mu}(p_r^A)^{1-\mu} $（工业品价格指数和农产品价格指数各占一定份额），则地区$r$的制造业工人的实际工资 为，
\[ \omega_r^M=w_r^MG_r^{\mu}(p_r^A)^{\mu-1} \]


\subsubsection{若干标准化}
制造业价格指数和工资方程式经常要使用的。在这里，通过使用合适的单位使得他们的形式更加简单。

1.观察\eqref{eq:lm}式，可以通过对产量选择的单位可使得边际产出满足如下方程，
\[ c^M=\frac{\sigma-1}{\sigma}=\rho \]

这就大大简化了利润最大化的一阶条件即定价方程\eqref{eq:prm}，使得
\begin{equation}\label{eq:prmwrm}
p_r^M=w_r^M
\end{equation}


于是，产量方程$q^*=l^* $ 。

2.接下来，看到固定投入$F$的单位选择是自由的，通过观察\eqref{eq:nr}式，看到可以通过对厂商数目选择合适的单位计量，以使得
\[ F=\mu/\sigma \]

这就使得，
\[ n_r=\frac{L_r^M}{\mu} \]

并迅速简化了$q^*$ 的表达，使得
\[ q^*=l^*=\mu \]

上述两个简化，就可以把制造业价格指数和工资方程进一步简化了。其中价格指数变为，
\begin{align}\label{eq:grreal}
G_r & =\left [ \sum_{s=1}^R n_s(p_s^MT_{sr}^M)^{1-\sigma}\right ]^{1/(1-\sigma)}\\
& = \left [ \frac{1}{\mu}\sum_{s=1}^R L_s^M(w_s^MT_{sr}^M)^{1-\sigma}\right ]^{1/(1-\sigma)}\\
\end{align}

工资方程变为，
\begin{align*}
w_r^M & =(\frac{\sigma-1}{\sigma c^M})\left[ \frac{\mu}{q^*}\sum_{s=1}^R Y_s(T_{rs}^M)^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
& = \left[ \sum_{s=1}^R Y_s(T_{rs}^M)^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
\end{align*}

\subsection{价格指数效应和国内市场效应}
这里我们通过价格指数方程和工资方程推导一些简单的结论。现在考虑一个两区位模型下的价格指数方程和工资方程，
\begin{align*}
G_1^{1-\sigma} & =\frac{1}{\mu}[L_1w_1^{1-\sigma}+L_2(w_2T)^{1-\sigma}]\\
G_2^{1-\sigma} & =\frac{1}{\mu}[L_1(w_1T)^{1-\sigma}+L_2w_2^{1-\sigma}]
\end{align*}

工资方程为，
\begin{align}
w_1^{\sigma} & =Y_1G_1^{\sigma-1}+Y_2G_2^{\sigma-1}T^{1-\sigma}\\
w_2^{\sigma} & =Y_1G_1^{\sigma-1}T^{1-\sigma}+Y_2G_2^{\sigma-1}
\end{align}


我们知道，上述结果是均衡的结果，接下来，就是在均衡点附近将它们线性化，就可以揭示一些关系。但要注意，上述方程是对称的，一个地区某个变量的增长总是会引起另外一个地区统一变量大小相等方向相反的变化，即$dG=dG_1=-dG_2 $ ，这样，当我们对上述四个方程微分后，由于这种对称性，可以得到如下两个方程，
\begin{align}
(1-\sigma)\frac{dG}{G} & =\frac{L}{\mu}\left (\frac{G}{w}\right )^{\sigma-1}(1-T^{1-\sigma})\left [ \frac{dL}{L}+(1-\sigma)\frac{dw}{w}\right ] \label{eq:dgg}\\
\sigma\frac{dw}{w} & =\frac{Y}{w}\left (\frac{G}{w}\right )^{\sigma-1}(1-T^{1-\sigma})\left [ \frac{dY}{Y}+(\sigma-1)\frac{dG}{G}\right] \label{eq:dww}
\end{align}

从\eqref{eq:dgg}式可以看到，如果劳动供给具有完全弹性，即$dw=0$，那么制造业就业的变化对价格指数产生了负效应（ $1-\sigma<0 \; and \;T>0 $），称之为价格指数效应。
联立\eqref{eq:dgg}和\eqref{eq:dww}式以消去 $dG/G $，并定义
\[Z\equiv \frac{1-T^{1-\sigma}}{1-T^{1+\sigma}}\]

则可以得到
\begin{equation}\label{eq:z}
\left [ \frac{\sigma}{Z}+Z(1-\sigma)\right]\frac{dw}{w}+Z\frac{dL}{L}=\frac{dY}{Y}
\end{equation}

一方面$Z$具有丰富的经济含义，即贸易完全无成本，则$T=1$，从而$Z=0$，贸易完全无可能，则$Z=1$。
从\eqref{eq:z}式可以得到以下结论：
（1）如果劳动供给完全弹性，即$dw=0$（说明国内市场巨大），那么由于$Z<1$，从而使得工业品需求变化要小于就业的变化，其斜率系数为$1/Z$。即其他条件相同，一个地区制造业部门增速要快于国内市场增速。
（2）如果$dw\ne 0 $ ，那么国内市场的增速则可能会由高工资来解释。

\subsection{非黑洞条件}
\[\frac{\sigma-1}{\sigma}=\rho>\mu\]

防止规模报酬递增，即劳动力供给越多，实际工资越高。

\subsection{附录1}
以下为本人之数学推导，可以跳过。该规划之拉格朗日函数为
\[L=\sum_0^np(i)m(i)-\lambda(\sum_0^nm_i^{\rho})^{1/\rho}\]

为方便讲述，我将积分写成了求和。这样，拉格朗日对$ｍ(i)$的一阶导数为,
\[p(i)=\lambda[m(1)^{\rho}+m(2)^{\rho}+\cdots+m(n)^{\rho}]^{(1-\rho)/\rho}m(i)^{\rho-1}\frac{1}{\rho}\]

即，
\[\frac{m(i)^{\rho-1}}{m(j)^{\rho-1}}=\frac{p(i)}{p(j)}\]

\subsection{附录2}
\begin{align*}
G & =\sum_0^n \frac{p(j)^{\rho/(\rho-1)}}{[\sum_0^np(i)^{\rho/(\rho-1)}]^{1/\rho}}\\
& =  \frac{\sum_0^n p(j)^{ \rho/(\rho-1)}}{[\sum_0^np(i)^{\rho/(\rho-1)}]^{1/\rho}}\\
& =\left [\sum_0^n p(i)^{\rho/(\rho-1)}\right ]^{(\rho-1)/\rho}
\end{align*}

\subsection{附录3：对本章的总体思路勾勒}

回忆前面DS模型的建模思路，我们就是想知道对于各种不同的工业品，我们需要它的表达，为了达到该目的。我们进行如下建模，首先是要解决消费者效用最大化的问题，即
\begin{align*}
Max\quad U=M^{\mu}A^{1-\mu}\\
s.t.\quad p^AA+\int_0^n p(i)m(i)di=Y
\end{align*}

但因为$M$是一个集合， 所以解决上述最大化问题前，先解决既定$M$下，通过选择不同的工业品$m(i)$使得$M$这个消费成本的最小化的问题，即
\begin{align*}
min_m\quad \int_0^n p(i)m(i)di\\
s.t. \quad \left(\int_0^n m(i)^\rho di\right)^{1/\rho}=M
\end{align*}

通过该最小化问题的解可以有
\begin{align*}
m(j)=\frac{p(j)^{1/(\rho-1)}}{[\int_0^np(i)^{\rho/(\rho-1)}di]^{1/\rho}}M
\end{align*}

然后利用$m(j)$的表达来考察集合$M$的最小构造成本，
\[\int_0^n p(j)m(j)=\left[\int_0^n p(i)^{\rho/(\rho-1)}di\right]^{(\rho-1)/\rho}M=GM\]

这就有了$G$的定义。
然后回过头来看消费者最大化问题，
\begin{align*}
Max\quad U=M^{\mu}A^{1-\mu}\\
s.t.\quad p^AA+GM=Y
\end{align*}

利用一阶条件，即可以得到单个工业品的需求表达，
\[m(j)=\mu Y\frac{p(j)^{-\sigma}}{G^{1-\sigma}}\]

现在就把前述分析拓展到带有运输成本的多区域情形中，如果区域$r$的工业品出厂价是$p_r^M$,那么它运到$s$地后就要卖$p_{rs}^M=p_r^MT^M_{rs},when\quad T^M_{rs}>1$，那么拓展之后，主要就是影响了价格指数，如果$n_r$表示地区$r$的产品种类数，那么$G$就变为，
\[G_s=\left [ \sum_{r=1}^R n_r(p_r^MT_{rs}^M)^{1-\sigma}\right ]^{1/(1-\sigma)}\]

于是$s$地区对$r$地区生产的商品的消耗为$\mu Y_s(p^MT^M_{rs})^{-\sigma}G_s^{\sigma-1}$，全部地区对$r$地区生产的商品的消耗就为,
\[ q_r^M=\mu\sum_{s=1}^RY_s(p_r^MT_{rs}^M)^{-\sigma}G_s^{\sigma-1}T_{ts}^M \]

接下来考虑生产者的问题，无非就是利润最大化。有了需求$q_r^M$,价格$p_r^M$，只要确定好成本，就可以写出最优规划。对于生产者而言，如果只有一种投入即人力资本，但有一个固定投入$F$，一个边际投入$c^M$(即每增加一单位商品必须增加多少单位劳动)，那么配合工资就可以写出生产者规划为，
\begin{align*}
\pi_r=p_r^Mq_r^M-w_r^M(F+c^Mq_r^M)
\end{align*}

厂商选择价格以实现最大化利润，其一阶条件为
\[p_r^M=c^Mw_r^M/\rho\]

\section{中心和外围}
\subsection{假定}\label{art:assum}
假设地区数为$R$，农民总数量为$L^A$ ，每个地区的农业劳动力份额是外生的，即为$\phi_r$ ，而制造业劳动力却是随时间变化的。工人总数为$L^M $ ，用$\lambda_r$ 表示在任意时点制造业劳动力份额，适当选择单位可使得 $L^M=\mu,L^A=1-\mu $。
农产品运输免费，以后会放松。工业品运输成本是$T_{rs}$ 。由于农产品运输免费且规模报酬不变，故各地区农民工资相同，并以之作为计量单位，即$w_r^A=1$ 。然而各地区工人的名义工资$w_r$ 和实际工资$\omega_r$ 却是不同的。
简单假定工人会流向实际工资较高的地区，离开实际工资低于平均水平的地区，若定义平均实际工资水平为，
\[\bar \omega=\sum_r \lambda_r\omega_r\]

则工人流动的动态方程为（不予证明，仅仅给出），
\[\dot {\lambda}_r=\gamma(\omega_r-\bar \omega)\lambda_r\]

\subsection{瞬时均衡} 
有多种不同方式描述瞬时均衡。但使用4R方程，即收入、价格指数、名义工资和实际工资来表达是方便的。
\subsubsection{收入} 
在\ref{art:assum}中曾选择合适的单位使得制造业工人和农民数量分别为$\mu$ 和$1-\mu$ ，这样，$r$地区的收入就为
\[Y_r=\mu\lambda_rw_r+(1-\mu)\phi_r\]

\subsubsection{价格指数} 
考虑到地区$s$的制造业工人数目为$L_s^M=\mu \lambda_s $ ，因此价格指数为，
\[G_r=\left [ \sum_s \lambda_s(w_sT_{sr})^{1-\sigma}\right ]^{1/1-\sigma}\]

从该方程可以看到，与地区$r$保持低运输成本的地区制造业份额越高，地区r的价格指数将会越低。在仅有两个地区情况下，若其他条件相同，制造业从一个地区转移到另一个地区会降低后者的价格指数从而提高后者的实际工资水平并吸引制造业工人转移。这就是前章讨论的前向关联的翻版。

\subsubsection{名义工资}
重述工资方程如下，
\[w_r = \left[ \sum_{s=1}^R Y_sT_{rs}^{1-\sigma}G_s^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\]

可以看到，若各地区价格指数类似，则与地区r间运输成本较低的那些地区如果收入较高，则地区r的名义工资将更高。此之谓后向关联。

\subsubsection{实际工资}
由于工业品在工人支出中所占份额是$\mu$ ，则实际工资显而易见，
\[\omega_r=w_rG_r^{-\mu}\]

\subsection{中心-外围模型：说明与数值示例}
两个地区，农业在两个地区均匀分布。令T为两地间的运输成本，无下标的$\lambda$ 为地区1的制造业份额，于是$1-\lambda$ 则为地区2的制造业份额。那么下面8个方程可以描述瞬时均衡状态，
\begin{align*}
& Y_1=\mu \lambda w_1+\frac{1-\mu}{2}\\
& Y_2=\mu (1-\lambda) w_2+\frac{1-\mu}{2}\\
& G_1=\left [ \lambda w_1^{1-\sigma}+(1-\lambda)(w_2T)^{1-\sigma}\right]^{1/1-\sigma}\\
& G_2=\left [ \lambda (w_1T)^{1-\sigma}+(1-\lambda)w_2^{1-\sigma}\right]^{1/1-\sigma}\\
& w_1=\left[ Y_1G_1^{\sigma-1}+Y_2G_2^{\sigma-1}T^{1-\sigma}\right]^{1/\sigma}\\
& w_2=\left[ Y_1G_1^{\sigma-1}T^{1-\sigma}+Y_2G_2^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
& \omega_1=w_1G_1^{-\mu}\\
& \omega_2=w_2G_2^{-\mu}
\end{align*}

$\mu,\lambda,\sigma $是参数，8个方程8个未知数，但由于是非线性方程，解该方程依然困难重重。但是考虑到该方程组的一些特征，譬如Y和G只需要知道 $w_1,w_2 $即可，那么可以通过猜测$w_1,w_2 $ 的初值，然后不断更新至想要的精度，就可以得到方程的数值解（具体的Matlab码在附录4.1中），于是就可以画出$\lambda$ 和 $\omega_1-\omega_2$的曲线图。画该图的逻辑在于通过观察制造业劳动份额的变化与两地区工资差异的变化，可以找到稳定均衡和非稳定均衡。
\begin{itemize}
	\item 后向关联：较大的当地市场会使得名义工资较高；	
\item 前向关联：当地生产较多种类的产品可以降低价格指数；
\end{itemize}


\subsection{中心——外围模式如何得以维持？（支撑点）}
该模式可不可以维持，可以就考察这样一种情况，在那里， $\lambda=1 $（即制造业都集中在地区1），并比较$\omega_1$ 和$\omega_2$ 的大小，如果$\omega_1\ge \omega_2 $ （即地区1的实际工资还是高于地区2），那么就是可以维持的，否则就不是。
这样，令$\lambda=1, $ 并假定$w_1=1 $ ，则，
\[Y_1=\frac{1+\mu}{2},Y_2=\frac{12\mu}{2},G_1=1,G_2=T\]

通过上述结果，代入上述名义工资的均衡方程发现该式恒成立，可见，$w_1=1 $ 确实是一个均衡值。另外，也可以了知地区的实际工资$\omega_1=1 $ ，接下来就是考察$\omega_2 $ 的值。利用均衡方程，可以得到
\[\omega_2=T^{-\mu}\left [ \frac{1+\mu}{2}T^{1-\sigma}+\frac{1-\mu}{2}T^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\]

即
\begin{equation}\label{eq:omega2}
\omega_2^{\sigma}=\frac{1+\mu}{2}T^{1-\sigma-\mu \sigma}+\frac{1-\mu}{2}T^{\sigma-1-\mu \sigma}
\end{equation}

当$T=1$时，$\omega_2=1 $ 。假设现在运输成本略有上升，对\eqref{eq:omega2}式求全微分，然后在$T=1$和$\omega_2=1$ 处估值，可以得到
\[\frac{d\omega_2}{dT}=\frac{\mu (1-2\sigma)}{\sigma}<0\]

这表示运输成本略有上升，地区的实际工资就要下降，这就保证了$\omega_1\ge \omega_2 $ ，所以均衡是稳定的。（所以当我们使用全微分来考察的时候，具体的点位是重要的）
注意，这里我们考察的是$T=1$附近的变化，如果此时$T$很大呢？\eqref{eq:omega2}式第一项很明显可以任意小，而第二项则有两种情况需要进一步分析，如果 $(\sigma-1)-\mu \sigma<0 $，那么此项也可以任意小，这样$\omega_2$  趋于0。但是前面讲过非黑洞条件是$(\sigma-1)-\mu \sigma>0 $ ，那么第二项就可以是任意大。实际上，此时可以利用\eqref{eq:omega2}式画一条以$T$为横轴， $\omega_2$为纵轴的曲线，该条曲线突破$\omega_1=1$ 的时刻就是支撑点的位置。

\subsection{对称均衡何以瓦解？（突变点）}
为了找到突变点，需要在均衡点附近考察$\lambda$ 的变化是如何影响$\omega_1-\omega_2 $ 的，即考察均衡点附近的微分$d(\omega_1-\omega_2)/d\lambda $ 。在均衡状态下，易知，
\begin{align*}
& \lambda=0.5\\
& Y_1=Y_2=0.5\\
& w_1=w_2=1\\
& G_1^{1-\sigma}=G_2^{1-\sigma}=\left [ \frac{1+T^{1-\sigma}}{2}\right ]
\end{align*}

由于是在对对称均衡求微分，则又可以定义$dG=dG_1=-dG_2 $ ，这样两个收入方程就的全微分就可以写为，
\[dY=\mu d\lambda+\frac{\mu}{2}dw\]

价格指数方程的全微分可以写为，
\begin{equation}\label{eq:dggg}
(1-\sigma)\frac{dG}{G}=G^{\sigma-1}(1-T^{1-\sigma})\left [d\lambda+\frac{(1-\sigma)dw}{2} \right]
\end{equation}

为简化起见，定义
\[Z\equiv \frac{1-T^{1-\sigma}}{1+T^{1-\sigma}}=\frac{1-T^{1-\sigma}}{2G^{1-\sigma}}\]

这样，\eqref{eq:dggg}式就可以写为，
\[\frac{dG}{G}=\frac{2Z}{1-\sigma}d\lambda+Zdw\]


然后，名义工资方程和实际工资方程的全微分分别为，
\begin{align*}
& \sigma dw=2ZdY+(\sigma-1)Z\frac{dG}{G}\\
& G^{\mu}d\omega=dw-\mu\frac{dG}{G}
\end{align*}

这样，联立上述方程组就可以得到
\[\frac{d\omega}{d\lambda}=2ZG^{-\mu}\left ( \frac{1-\rho}{\rho}\right)\left [ \frac{\mu(1+\rho)-Z(\mu^2+\rho)}{1-\mu Z(1-\rho)-\rho Z^2}\right]
\]

根据上式就可以画出一条横轴为T，纵轴为$d\omega/d\lambda $ 的曲线。
\subsection{解方程的matlab码}
\begin{verbatim}
clear
mu=0.4;
sigma=5;
T=2.1;
lambda=0:0.01:1;
r=length(lambda); 
for i=1:r
y(i)=equas(mu,sigma,T,lambda(i),2,1);       
end
plot(lambda,y)

function y=equas(mu,sigma,T,lambda,w1,w2)

g1=(lambda*w1^(1-sigma)+(1-lambda)*(w2*T)^(1-sigma))^(1/(1-sigma));
g2=(lambda*(w1*T)^(1-sigma)+(1-lambda)*w2^(1-sigma))^(1/(1-sigma));
y1=mu*lambda*w1+(1-mu)/2;
y2=mu*(1-lambda)*w2+(1-mu)/2;
InW1=(y1*g1^(sigma-1)+y2*g2^(sigma-1)*T^(1-sigma))^(1/sigma);
InW2=(y1*g1^(sigma-1)*T^(1-sigma)+y2*g2^(sigma-1))^(1/sigma);

while w1-InW1>=0.01 || w2-InW2>=0.01
w1=InW1;
w2=InW2;
g1=(lambda*w1^(1-sigma)+(1-lambda)*(w2*T)^(1-sigma))^(1/(1-sigma));
g2=(lambda*(w1*T)^(1-sigma)+(1-lambda)*w2^(1-sigma))^(1/(1-sigma));
y1=mu*lambda*w1+(1-mu)/2;
y2=mu*(1-lambda)*w2+(1-mu)/2;
InW1=(y1*g1^(sigma-1)+y2*g2^(sigma-1)*T^(1-sigma))^(1/sigma);
InW2=(y1*g1^(sigma-1)*T^(1-sigma)+y2*g2^(sigma-1))^(1/sigma);
end

omega1=w1*g1^(-mu);
omega2=w2*g2^(-mu);
y=omega1-omega2;    
\end{verbatim}



\section{多个地区与连续空间}
\subsection{三地区情况}
类似于二地区模型，三地区仅仅是一个稍微的扩展，在模型的求解上没有太多的困难。但是在图形表现上，我们颇费心力。
从模型来看，农业的规模为$(1-\mu)/3 $ ，两两地区之间的成本为$T$，于是包含12个方程的模型如下，
\begin{align*}
& Y_1=\mu \lambda_1w_1+\frac{(1-\mu)}{3}\\
& Y_2=\mu \lambda_2w_2+\frac{(1-\mu)}{3}\\
& Y_3=\mu (1-\lambda_1-\lambda_2)w_3+\frac{(1-\mu)}{3}\\
& G_1=\left [ \lambda_1w_1^{1-\sigma}+\lambda_2(w_2T)^{1-\sigma}+(1-\lambda_1-\lambda_2)(w_3T)^{1-\sigma}\right]^{1/1-\sigma}\\
& G_2=\left [ \lambda_1(w_1T)^{1-\sigma}+\lambda_2w_2+(1-\lambda_1-\lambda_2)(w_3T)^{1-\sigma}\right]^{1/1-\sigma}\\
& G_3=\left [ \lambda_1(w_1T)^{1-\sigma}+\lambda_2(w_2T)^{1-\sigma}+(1-\lambda_1-\lambda_2)w_3^{1-\sigma}\right]^{1/1-\sigma}\\
& w_1=\left[ Y_1G_1^{\sigma-1}+Y_2T^{1-\sigma}G_2^{\sigma-1}+Y_3T^{1-\sigma}G_3^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
& w_2=\left[ Y_1T^{1-\sigma}G_1^{\sigma-1}+Y_2G_2^{\sigma-1}+Y_3T^{1-\sigma}G_3^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
& w_3=\left[ Y_1T^{1-\sigma}G_1^{\sigma-1}+Y_2T^{1-\sigma}G_2^{\sigma-1}+Y_3G_3^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}\\
& \omega_1=w_1G_1^{-\mu}\\
& \omega_2=w_2G_2^{-\mu}\\
& \omega_3=w_3G_3^{-\mu}
\end{align*}
为了画出书上的向量场图形，

第一步，



\section{农业运输成本}
回顾第\ref{sec:3}章的内容，那里假定了农业是没有运输成本的，讨论了两个制造业之间的动态演化，本章要引入农业运输成本，重新考察制造业之间的演化问题。
\subsection{贸易成本模型}\label{trade}
多数假设与第三章相同，其他需要重新提醒的假设如下：（1）农产品同质（下一节做出修改）；（2）1单位农业劳动力生产1单位农产品；（3)两个地区农业劳动力各占一半;(4)以$w_r^A$表示地区$r$农业劳动力工资，农业工资就是农产品价格（因为生产产品获得的收入全部归自己），但考虑到农产品现在也有了运输成本，所以两地间的农业工资和农产品价格也就不再相等。

现在可以重新使用第四章的相关结论了，如果用$w_r^M$和$w_r^A$来区分制造业和农业部门工资，那么两地的收入就可以写为，
\begin{align}\label{eq:equAgrrY}
\nonumber
Y_1=\mu \lambda w_1^M+\frac{1-\mu}{2}w_1^A\\
Y_2=(1-\lambda)\mu w_2^M+\frac{1-\mu}{2}w_2^A
\end{align}

物价指数和工资方程分别为，
\begin{align}
G_1^M & = [\lambda(w_1^M)^{(1-\sigma)}+(1-\lambda)(w_2^MT^M)^{(1-\sigma)}]^{\frac{1}{1-\sigma}} \label{eq:equAgrG1}\\
G_2^M & = [\lambda(w_1^MT^M)^{(1-\sigma)}+(1-\lambda)(w_2^M)^{(1-\sigma)}]^{\frac{1}{1-\sigma}}\label{eq:equAgrG2}\\
w_1^M & = [Y_1(G_1^M)^{(\sigma-1)}+Y_2(G_2^M)^{(\sigma-1)}(T^M)^{(1-\sigma)}]^{\frac{1}{\sigma}}\\
w_2^M & = [Y_1(G_1^M)^{(\sigma-1)}(T^M)^{(1-\sigma)}+Y_2(G_2^M)^{(\sigma-1)}]^{\frac{1}{\sigma}}\label{eq:equAgrw2} 
\end{align}

此时，如果把工业品物价指数和农产品物价指数综合起来，则可以得到实际工资如下，
\begin{align}
\omega_1 =w_1^M(G_1^M)^{-\mu}(w_1^A)^{\mu-1}\\
\omega_2 =w_2^M(G_2^M)^{-\mu}(w_2^A)^{\mu-1}
\end{align}

\subsection{中心-外围？还是对称均衡？}
（1）分析中心外围的思路：假设该结构存在（譬如集中于地区1），然后考察$\frac{\omega_2}{\omega_1}$是否小于1，如果是，则该结构就是稳定的。

若所有制造业集中于地区1，即$\lambda=1$;再以地区2农业劳动为计量单位，结合前述\ref{trade}节中的假设（2）和（4），就有了$w_2^A=1,w_1^A=T^A>1$。

现在为了得到地区1的制造业工资，有一个小技巧可以轻松获得，从支出和收入的角度看，制造业部门的收入就是工人的总工资$\mu w_1^M$，制造业部门的总产出就是$\mu (Y_1+Y_2)$，这两者应该相等，又根据\eqref{eq:equAgrrY},有$Y_1+Y_2=\mu w_1^M+\frac{1-\mu}{2}(T^A+1)$,因此有，
\[w_1^M=\frac{1+T^A}{2}\]

再来看$w_2^M$。观察前面的推导可以得到$Y_1=\frac{T^A+\mu}{2},Y_2=\frac{1-\mu}{2}$,在$\lambda=1$下，根据\eqref{eq:equAgrG1}和\eqref{eq:equAgrG2},就有$G_1^M=w_1^M,G_2^M=w_1^MT^M$,于是结合\eqref{eq:equAgrw2},就有
\[\left(\frac{w_2^M}{w_1^M}\right)=\left[\frac{T^A+\mu}{1+T^A}(T^M)^{1-\sigma}+\frac{1-\mu}{1+T^A}(T^M)^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}  \]

再通过实际工资方程，可以发现，
\begin{align*}
\frac{\omega_2}{\omega_1} & =\frac{w_2^M}{w_1^M}\left(\frac{G_2^M}{G_1^M}\right)^{-\mu}\left(\frac{w_2^A}{w_1^A}\right)^{\mu-1} \\
& = \frac{w_2^M}{w_1^M}(T^M)^{-\mu}(w_1^A)^{\mu-1}\\
& = (T^M)^{-\mu}(T^A)^{\mu-1}\left[\frac{T^A+\mu}{1+T^A}(T^M)^{1-\sigma}+\frac{1-\mu}{1+T^A}(T^M)^{\sigma-1}\right]^{1/\sigma}
\end{align*} 

此时可以固定$ T^A $,画出横坐标为$ T^M $,纵坐标为$ \frac{\omega_2}{\omega_1} $的图。

（2）分析对称均衡的思路：在对称点附近对均衡进行微分，估算$ d(\omega_1-\omega_2)/d\lambda $，如果该式为正，因为地区1工人的增加会提高该地区工资，则对称均衡不稳定，反之反是。一个技巧在于，由于是在对称均衡附近微分，地区1任何一个变量的变化，地区2的相应变量将反向变化，所以在考察$ d(\omega_1-\omega_2)/d\lambda $时，实际上我们只要考察$ d\omega/d\lambda $就够了。

\subsection{差别化农产品}
同质化的农产品给出的结果并不如人意，因为无论农产品运输成本多么小，对称均衡始终稳定。解决该问题，可以从差别化的农产品出发。



\section{城市体系的空间模型：启发式介绍}
\subsection{区位决策与需求分布}
\subsection{城市区位的维持与锁定}
若经济体全部人口在一条长度为1的直线上，人口总量标准化为1，占总人口$ 1-\mu $ 的农民均匀分布在这条线上，如果现在企业都集聚在单一的区域，譬如$r$，那么此时下一个企业会如何选址？

如果选址在$s$处，那么，

首先，工厂西边的农民占所有农民的比例就为$s$，同时他们距离该工厂的平均距离为$s/2$。其次，因所有农民对工业品的需求为 $ 1-\mu $，所有西边农民对工业品的需求为$(1-\mu)s\cdot s/2 $ 。因此，如果单位运输成本为$ \tau $ ，那么其运输成本则为$(1-\mu)s^2\cdot \tau/2  $ 。类似地，东边农民的运输成本为 $(1-\mu)(1-s)^2\cdot \tau/2 $。

再来看城市需求，因城市距离该工厂$|r-s| $ ，其消费量为$ \mu $ ，因此，运输成本为 。综上，总运输成本为$\mu \tau |r-s| $，	


\section{单中心经济体}
\subsection{冯$\cdot$杜能经济体}
本章考察产业如何集中在一个城市，在怎样的条件下又开始了扩张（或者说迁移）。

注意：第一，这里没有将劳动力的单位标准化，是为了考察在人口扩张情况下，产业是如何迁移的。第二，前面几章多数在讨论在两个中心，此处是单中心，因此工资方程等会有很大的简化。

再次回顾通俗版的前向关联是指企业愿意定址于工业品供给市场，后向关联指企业愿意定址于需求市场。
\vspace{3 ex}

情景：城市在坐标原点处，农业以其为中心向两边分散，即从$-f$分布至$f$，这是连续的。

假设：农业区每个区域只生产1单位农产品，并在满足当地需求后将剩余产品输送城市，因存在农业运输成本，故离中心城市越远，农产品价格$p^A$越低,
\[ p^A(r)=p^Ae^{-\tau^A |r|} \]

其中，$r$表示该区域与城市距离。若令$R(r),w^A(r)$分别表示地区$r$的地租和农业劳动力的工资率，则土地租金等于每单位土地产值减去耕种该单位土地所需的$ c^A $个劳动力的总工资，于是$ R(r)=p^A(r)-c^Aw^A(r)=p^Ae^{-\tau^A|r|}-c^Aw^A(r) $,那么在远离城市的边界$ f $上，土地租金为0，所以
\[w^A(f)=\frac{p^Ae^{-\tau^Af}}{c^A}  \]

\vspace{4 ex}
现在利用第3章的相关结论来考察制造业，如果以中心区域工业品价格为基准，那么根据\eqref{eq:prmwrm},就有
\[ p^M(0)=w^M(0)=1 \]

同时根据\eqref{eq:grreal}的定义，在单中心下有着更简单的$G_r$表示，
\[ G(r)=\left(\frac{L^M}{\mu}\right)^{1/(1-\sigma)}e^{\tau^M|r|} \]

\vspace{4 ex}
现在的均衡与前两章不一样，它需要（1）农产品市场出清(即供给和需求相等)；（2）农民和工人实际工资相等。

先看第一个条件：中心城市收入为$w^ML^M$,占收入$1-\mu$的部分花在农产品上，所以城市的农产品消费量为$D^A=(1-\mu)w^ML^M/p^A$。那么供给量呢，农业地区将其收入的$1-\mu$部分花在农产品上，剩下$\mu$单位提供给城市，但是由于有运输成本，$\mu$单位中只有$e^{-\tau^A|s|}$部分抵达城市，故城市食品总供给为$S^A=2\mu\int_0^f e^{-\tau^A|s|}$.同时考虑到，城市劳动力等于总劳动力减去农民总数，即$L^M=N-2c^Af$,于是可将出清条件可以表达为
\begin{equation}\label{eq:Market1}
p^A=\frac{(1-\mu)(N-2c^Af)}{2\mu \int_0^f e^{-\tau^A |s|}ds}
\end{equation}

再看第二个条件：农民的实际工资为，
\[\omega^A=\frac{w^A}{G(f)^{\mu}p^A(f)^{1-\mu}}\]

工人的实际工资为，
\begin{equation}\label{eq:omega}
\omega^M=G^{-\mu}(p^A)^{\mu-1}
\end{equation}


两者相等即意味着，
\begin{equation}\label{eq:Market2}
p^A=c^Ae^{\mu(\tau^A+\tau^M)f}
\end{equation}

\eqref{eq:Market1}式和\eqref{eq:Market2}式同时决定了农产品价格$p^A$和农业地区的规模$f$，而$f$是人口规模$N$
的单调递增函数。

接下来就可以考察制造业实际工资与$f$的关系，这可以从对\eqref{eq:omega}式的观察开始，一方面可以了知$G(0)=\left(\frac{L^M}{\mu}\right)^{1/(1-\sigma)}$,然后再考虑到\eqref{eq:Market1}式，就有了\eqref{eq:omega}式所需要的$G$，然后再直接考虑\eqref{eq:Market1}，就有了\eqref{eq:omega}所需要的$p^A$，因此，实际工资就可以表达为，
\[\omega\equiv \omega^M(0)=\left[\frac{2(1-e^{-\tau^Af})}{(1-\mu)\tau^A}\right]^{\mu/(\sigma-1)}(c^Ae^{\mu(\tau^A+\tau^M)f})^{\mu\sigma/(\sigma-1)-1} \]

\subsection{市场潜力函数}


\section{国际专业化}
\subsection{与中间产品有关的模型}
涉及中间产品，往往涉及投入产出表，此时问题往往复杂化。但可以通过对第3章模型的微小改变来引入中间产品。即制造业把生产的产品作为一种投入，即消费品也是投入品。

注意，为了寻找均衡，我们还是要以第4章的4R方程作为核心来理解和切入，后面的展开都是为了得到价格指数、工资方程等。

若区域r中间产品价格为$G_r$ ，再假设制造业生产函数是劳动（工资为$w_r$ ）和中间产品的柯布道格拉斯函数，中间所占份额为$\alpha$ ，那么投入品的价格为$w_r^{1-\alpha}G_r^{\alpha} $ （该价格既可当做固定成本也可看成边际成本）。回忆\eqref{eq:prmwrm}式，选择合适的单位可使得产品价格等于要素边际成本，即$p_r=w_r^{1-\alpha}G_r^{\alpha} $ 。与第3章类似，中间产品价格指数$G_r$ 为，
\begin{equation}\label{gsMed}
G_s=\left [ \sum_{s} n_s(p_sT_{sr})^{1-\sigma}\right ]^{1/(1-\sigma)}
\end{equation}

其中， $n_s$是区域$s$生产的各种产品的种类数目，$p_s$ 是离岸价，$T_{rs}$ 是运输成本。再来看制成品的需求，它有两个来源，可以定义区域$r$制成品支出$E_r$ 为，
\begin{equation}\label{eq:er}
E_r=\mu Y_r+\alpha n_r p_r q^*
\end{equation}

上式第一项是消费者需求，$\mu$ 是消费支出中工业品的份额，$Y$是收入。第二项是厂商对中间品的需求。如果厂商在零利润时销售率为$q^*$ ，那么区域$r$厂商的总成本就是总产值 $n_rp_rq^* $，其中$alpha$ 的份额用以做中间产品。

从两个国家的情况开始考虑，每个国家劳动供给为1，各国内部，劳动力自由流动。$r$国制造业劳动力份额为$\lambda_r$ ，因制造业总产值为$n_rp_rq^* $ ，故制造业工资支出就是总产值的$1-\alpha$ ，
\[w_r\lambda_r=(1-\alpha)n_rp_rq^*  \]

选择$q^*$ 合适的计量单位以约掉上式的系数$1-\alpha$ ，则可以得到，
\[ n_r=\frac{w_r}{p_r}\lambda_r \]

现在根据\eqref{gsMed}式，可以得到每个国家的价格指数，
\begin{align}\label{eq:g1sig}
\nonumber
G_1^{1-\sigma}=\lambda_1w_1^{1-\sigma(1-\alpha)}G_1^{-\alpha\sigma}+\lambda_2w_2^{1-\sigma(1-\alpha)}G_2^{-\alpha\sigma}T^{1-\sigma}\\
G_2^{1-\sigma}=\lambda_1w_1^{1-\sigma(1-\alpha)}G_1^{-\alpha\sigma}T^{1-\sigma}+\lambda_2w_2^{1-\sigma(1-\alpha)}G_2^{-\alpha\sigma}
\end{align}

工资方程的推导有些繁复，如果对第三章的模型很熟练，那么推导不过是一种简单的重复而已。对照工资方程\eqref{eq:wrm}：首先，对某种产品需求量不再是由\eqref{eq:qrM}式决定，还要加上一个中间产品需求。简言之，在第3章中工业品需求是$\mu Y$ ，现在要加上一个中间产品需求，使得第三章中工资方程中涉及到$\mu Y$ 的地方都要替换成E 。其次，本章直接简化了$q^*$ ，使其等于$\frac{1}{1-\alpha}$ 。第三，本章改变了生产函数使其成为柯布道格拉斯函数，但该生产者规划的核心未变，产品定价等于要素边际成本，即$p_r=w_r^{1-\alpha}G_r^{\alpha} $ ，那么根据\eqref{eq:prmsig}式，就可以轻易得到工资方程如下，
\begin{align}\nonumber
\frac{(w_1^{1-\alpha}G_1^{\alpha})^{\sigma}}{1-\alpha}=E_1G_1^{\sigma-1}+E_2G_2^{\sigma-1}T^{1-\sigma}\\
\frac{(w_2^{1-\alpha}G_2^{\alpha})^{\sigma}}{1-\alpha}=E_1G_1^{\sigma-1}T^{1-\sigma}+E_2G_2^{\sigma-1}
\end{align}


再根据$\eqref{eq:er}$式，可得，
\begin{align}\nonumber
E_1=\mu Y_1+\frac{\alpha w_1 \lambda_1}{1-\alpha}\\
E_2=\mu Y_2+\frac{\alpha w_2 \lambda_2}{1-\alpha}
\end{align}


再假设农业生产函数为$A(1-\lambda_r) $ ，并把农产品价格看作计价基准，于是每个国家的收入为，
\begin{align}\nonumber
Y_1=w_1\lambda_1+A(1-\lambda_1)\\
Y_2=w_2\lambda_2+A(1-\lambda_2)
\end{align}


农业工资等于劳动的边际产出$A'(1-\lambda_r) $ ，两部门工资差距为
\begin{align}\nonumber \label{eq:v}
v_1\equiv w_1-A'(1-\lambda_1)\\
v_2\equiv w_2-A'(1-\lambda_2)
\end{align}

给定劳动份额$\lambda_1,\lambda_2 $ ，方程$\eqref{eq:g1sig}-\eqref{eq:v}$描述了短期均衡特征。对于长期均衡而言，要么两个国家的$v_r$ 都等于0，要么在角点处，两个部门中一个萎缩为0，在数学上体现为，
\begin{align*}
& w_r=A'(1-\lambda_r),\lambda_r\in (0,1)\\
& w_r\ge A'(1-\lambda_r),\lambda_r=1\\
& w_r\le A'(1-\lambda_r),\lambda_r=0
\end{align*}

利用$\eqref{eq:g1sig}-\eqref{eq:v}$以及$ w_1=1,A_r=1-\lambda_r $，使用Matlab里面的fsolve函数解这个非线性方程组，就可以大体（“大体”的意思是要选好初值才能得到合适的解）得到书上的图，相关程序在本章附录中。


\subsection{附录}
主程序如下
\begin{verbatim}
clear
global lambda1;
options = optimoptions('fsolve','Display','iter','MaxFunEvals',2400); % Option to display output

i=1;
for lambda1=0.05:0.02:0.88    
	[x,fval] = fsolve(@myfun1,[1;3;0.6;1;1.2;0.3],options); % Call solver
	lambda2(i)=x(3);
	i=i+1;
end

t=0.05:0.02:0.88;
plot(t,lambda2),hold on
plot(lambda2,t),hold off
\end{verbatim}

调用的解非线性方程组的函数为，
\begin{verbatim}
function F=myfun1(x)

alpha=0.5;
sigma=5;
T=1.5;
mu=0.4;
global lambda1;

g1=x(1);
g2=x(2);
lambda2=x(3);
w2=x(4);
E1=x(5);
E2=x(6);

F=[g1^(1-sigma)-lambda1*g1^(-alpha*sigma)-lambda2*w2^(1-sigma*(1-alpha))*g2^(-sigma*alpha)*T^(1-sigma);
	g2^(1-sigma)-lambda1*g1^(-alpha*sigma)*T^(1-sigma)-lambda2*w2^(1-sigma*(1-alpha))*g2^(-sigma*alpha);
	g1^(alpha*sigma)/(1-alpha)-E1*g1^(sigma-1)-E2*g2^(sigma-1)*T^(1-sigma);
	w2^(sigma*(1-alpha))*g2^(alpha*sigma)/(1-alpha)-E1*g1^(sigma-1)*T^(1-sigma)-E2*g2^(sigma-1);
	E1-mu-alpha*lambda1/(1-alpha);
	E2-mu*(w2*lambda2-lambda2+1)-alpha*w2*lambda2/(1-alpha)];
\end{verbatim}

